解题思路：（1）首先设设f（x）=kx+b（k≠0），代入f[f（1）]即可得k2+kb+b+1=0①；求出反函数
f
−1
(x)＝
x
k
−
b
k]，将点
(n，
a
n+1
a
n
)(n∈
N
+
)
代入得f-1（n）-f-1（n-1）=1，又
f
−1
(n)−
f
−1
(n−1)＝
1
k
，即可得出k=1，代入①得b=-1
故可求出f（x）=x-1，f-1（x）=x+1，进而知曲线C的方程是x-y+1=0；
（2）由（1）知当x=n时，f-1（n）=n+1故
a
n+1
a
n
＝n+1
，即可求出an=n!；
（3）由（2）可得
b
n
＝
1
n+1
−
1
n+2
，即可求出sn=b1+b2++bn=[1/2
−
1
n+2
＜
1
2]．
（1）设f（x）=kx+b（k≠0）（1分）
则f[f（1）]=k（k+b）+b=k2+kb+b=-1即k2+kb+b+1=0①（2分）
又f−1(x)＝
x
k−
b
k是曲线C的解析式．
∵点(n，
an+1
an)在曲线C上，
∴f−1(n)−f−1(n−1)＝
an+1
an−
an
an−1＝1
又∵f−1(n)−f−1(n−1)＝
1
k故[1/k＝1，∴k＝1，代入①得b=-1
∴f（x）=x-1，f-1（x）=x+1∴曲线C的方程是x-y+1=0（5分）
（2）由（1）知当x=n时，f-1（n）=n+1故
an+1
an＝n+1，而a1=1，
于是an＝
an
an−1•
an−1
an−2]
a2
a1•a1＝n•(n−1)3•2•1=n!（10分）
（3）∵bn＝
an
(n+2)!＝
n!
(n+2)!＝
1
(n+2)(n+1)＝
1
n+1−
1
n+2
∴Sn=b1+b2++bn=(
1
2−
1
3)+(
1
3−
1
4)++(
1
n+1−
1
n+2)=[1/2−
点评：
本题考点： 数列递推式；数列的求和．
考点点评： 本题主要考函数及数列的综合运用及其相关运算，属于中档题．
1年前
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