过B（0,-b)作椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的弦,若弦长的最大值不是2b,求椭圆离心率的取值范
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设过B的弦为BC,且C的坐标为（m,n）.则：
｜BC｜＝√［（m－0）^2＋（n＋b）^2］＝√（m^2＋n^2＋2bn＋b^2）.
∵C在椭圆上, ∴m^2/a^2＋n^2/b^2＝1, ∴m^2＝a^2－a^2n^2/b^2.
∴｜BC｜＝√（a^2－a^2n^2/b^2＋n^2＋2bn＋b^2）,
∴｜BC｜＝√［a^2＋b^2－（a^2－b^2）n^2/b^2＋2bn］
＝√［a^2＋b^2＋b^4/（a^2－b^2）－（a^2－b^2）（n/b－b^2）^2］.
显然,当n/b－b^2＝0时,｜BC｜取得最大值,最大值为√［a^2＋b^2＋b^4/（a^2－b^2）］.
依题意,有：√［a^2＋b^2＋b^4/（a^2－b^2）］≠2b,
∴a^2＋b^2＋b^4/（a^2－b^2）≠4b^2, ∴（a^4－b^4）＋b^4≠4（ab）^2－4b^4,
∴a^4≠4a^2b^2－4b^4.
又e＝c/a＝√（a^2－b^2）/a, ∴a^2e^2＝a^2－b^2, ∴b^2＝a^2－a^2e^2.
∴a^4≠4a^2（a^2－a^2e^2）－4（a^2－a^2e^2）^2,∴1≠4（1－e^2）－4（1－e^2）^2,
∴［2（1－e^2）－1］^2≠0, ∴2（1－e^2）≠1, ∴1－e^2≠1/2, ∴e^2≠1/2,
∴e≠√2/2.
∴满足条件的椭圆离心率的取值范围是（－∞,√2/2）∪（√2/2,＋∞）.
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