已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
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解题思路：（1）要证明方程f（x）=0有两个不同实数根，只要△=b2-4ac=（a+c）2-4ac＞0即可；
（2）令g（x）=f（x）-
f(
x
1
)+f(
x
2
)
2
，则由g（x1）=f（x1）-
f(
x
1
)+f(
x
2
)
2
=
f(
x
1
)−f(
x
2
)
2
，g（x2）=f（x2）-
f(
x
1
)+f(
x
2
)
2
=-
f(
x
1
)−f(
x
2
)
2
及g（x）的图象是连续可证．
（1）∵f（1）=0
∴a+b+c=0，即b=-a-c； （2分）
又对f（x）=0有△=b2-4ac=（-a-c）2-4ac=（a-c）2
∵a≠c，∴△=（a-c）2＞0．故方程f（x）=0有两个不同实数根；（6分）
（2）设g(x)＝f(x)−
f(x 1)+f(x 2)
2（8分）
考虑：
g(x1)g(x2)＝[f(x1)−
f(x 1)+f(x 2)
2][f(x2)−
f(x 1)+f(x 2)
2]
＝
[f(x 1)−f(x 2)][f(x 2)−f(x 1)]
4＜0
∴对二次函数y=g（x）的图象在（x1，x2）内必至少穿过横轴一次，
∴方程f(x)＝
f(x 1)+f(x 2)
2必有一实根在区间 （x1，x2）内．（12分）
点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质．
考点点评： 本题主要考查了二次函数的性质的应用，函数与方程的相互转化，一元二次方程的根的分布与系数的关系，解题的关键是灵活应用二次函数的性质．
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