已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．

（1）若a＞b＞c且f（1）=0，试证明f（x）必有两个零点；

（2）若对x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=[1/2][f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一实根属于（x1，x2）．

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解题思路：（1）由条件得到a＞0，c＜0，判别式△=b2-4ac≥-4ac＞0，从而证得方程ax2+bx+c=0有两个不等实根．

（2）令g（x）=f（x）-[1/2][f（x1 ）+f（x2）]，证明g（x1）•g（x2）＜0，可得g（x）=0在（x1，x2）内必有一实根，

问题得证．

证明：（1）∵f（1）=0，∴a+b+c=0．又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，即ac＜0．

又∵△=b2-4ac≥-4ac＞0，∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根．

所以，函数f（x）必有两个零点．

（2）令g（x）=f（x）-[1/2][f（x1）+f（x2）]，

则g（x1）=f（x1）-[1/2][f（x1）+f（x2）]=

f(x1)−f(x2)

2，

g（x2）=f（x2）-[1/2][f（x1）+f（x2）]=-

f(x1)−f(x2)

2，

∴g（x1）•g（x2）=

f(x1)−f(x2)

2•

f(x2)−f(x1)

2=-[1/4][f（x1）-f（x2）]2．

∵f（x1）≠f（x2），∴g（x1）•g（x2）＜0．

∴g（x）=0在（x1，x2）内必有一实根．

∴方程f（x）=[1/2][f（x1）+f（x2）]在（x1，x2）内必有一实根．

再由 g（x1）•g（x2）＜0可得二次函数g（x）的函数值可正可负，

故函数g（x）=f（x）-[1/2][f（x1）+f（x2）]的图象与x轴一定有两个交点，

故方程f（x）=[1/2][f（x1）+f（x2）]有两个不等实根．

综上可得，方程f（x）=[1/2][f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，且必有一实根属于（x1，x2）．

点评：

本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查二次函数的性质，方程的根就是对应函数的零点，以及函数零点存在的条件，属于中档题．

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