设函数f(x)=x^2+aIn(x+1) (1)求函数f(x)的单调区间 ;
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f(x)=x^2+aIn(X+1) 在区间0,1上闭区间,函数f(x)在x=0出取最小值,求a的范围解析:∵函数f(x)=x^2+aIn(X+1),其定义域为x>-1当a=0时,f(x)=x^2,函数f(x)在x=0处取最小值;当a≠0时,f(x)=x^2+aIn(X+1)令f’(x)=2x+a/(X+1)=(2x^2+2x+a)/(x+1)=0∴x1=[-1-√(1-2a)]/2,  x2=[-1+√(1-2a)]/2[-1-√(1-2a)]/2>-1==>a>01-2a>=0==>a<=1/2∴0<a<=1/2f’’(x)=2-a/(X+1)^2==>f’’(x1)<0, f(x)在x1处取极大值;f’’(x2)>0, f(x)在x2处取极小值;∵给定区间[0,1]当0<a<=1/2时,x2<0∴f(x)在区间[0,1]上单调增,且在x=0出取最小值当a>1/2时,f’(x)>0, ∴f(x)定义域内单调增当a<0时,x2>0, 不合题意综上,满足题意要求的a的范围为a>=0