已知函数f(x)＝loga(ax2−x+12)在x∈（1，2]上的函数值恒为正数，则实数a的取值范围是a＞[3/2]或0
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解题思路：欲使函数
f(x)＝lo
g
a
(a
x
2
−x+
1
2
)
在x∈（1，2]上的函数值恒为正数，就a的值分情况讨论，转化成
a
x
2
−x+
1
2
＞1（或＜1）在x∈（1，2]上的恒成立，根据函数
1
2
x
2
+
1
x
在（1，2]上的单调性求出最大（小）值即可得到实数a的取值范围．
欲使函数f(x)＝loga(ax2−x+
1
2)在x∈（1，2]上的函数值恒为正数，
（1）当a＞1时，转化成 ax2−x+
1
2＞1在x∈（1，2]上的恒成立，
即a＞
1
2
x 2+
1
x
由于函数
1
2
x 2+
1
x在（1，2]上的最大值为[3/2]，
∴a＞[3/2]；
（2）当0＜a＜1时，转化成0＜ax2−x+
1
2＜1在x∈（1，2]上的恒成立，
即a＜
1
2
x 2+
1
x且a＞−
1
2
x 2+
1
x
由于函数
1
2
x 2+
1
x在（1，2]上的最小值为[5/8]，
且函数−
1
2
x 2+
1
x在（1，2]上的最大值为[1/2]
∴[1/2]＜a＜[5/8]；
综上所述，实数a的取值范围是：a＞[3/2]或[1/2]＜a＜
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．
考点点评： 本题主要考查了二次函数恒成立问题，以及函数的单调性等有关基础知识，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．
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