微分方程y’-y=1的通解是?我用特征方程算的是y=ce^x.答案是y=ce^x-1.那个-1是怎么来的呢?
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y’-y=0时为一阶齐次方程,齐次方程的解为y=Ce^x.

如果y’-y=f(x),我们要求其“特解”.

在这里,特解为-1.

所以,微分方程的全解为“齐次解”+“特解”=y=Ce^x-1.

通常情况下,若f(x)为n次多项式,其特解的形式必为n次多项式；

比如y’-y=x^2+1

设f(x)=x^2+3x+1,其特解的形式则=g(x)=ax^2+bx+c；

把g(x)带入y,得到

2ax+b+ax^2+bx+c=x^2+3x+1

ax^2+(2a+b)x+(b+c)=x^2+3x+1

比较两边系数,得到a=1,b=1,c=0,所以g(x)=x^2+x

我们知道此微分方程的“齐次解”为y=Ce^x,“特解”为x^2+x,

所以全解为y=Ce^x+x^2+x.

在y'-y=1中,f(x)为0次多项式.

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