（2013•营口二模）已知椭圆y225+x29＝1的上、下焦点分别为F2和F1，点A（1，-3），

（2013•营口二模）已知椭圆

y

2

25

+

x

2

9

＝1

的上、下焦点分别为F2和F1，点A（1，-3），

（1）在椭圆上有一点M，使|F2M|+|MA|的值最小，求最小值；

（2）当|F2M|+|MA|取最小值时，求直线MF1被椭圆截得的弦长．

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解题思路：（1）由椭圆的方程求出上下两个焦点，利用三角形中两边之差小于第三边把|F2M|+|MA|的值缩小，得到当点M在椭圆上并在线段F1A的延长线上时|F2M|+|MA|取得最小值；

（2）由（1）知，当|F2M|+|MA|取最小值时，点M在直线AF1上，由两点式写出直线方程，和椭圆方程联立后直接利用弦长公式求直线MF1被椭圆截得的弦长．

（1）由椭圆方程

y2

25+

x2

9＝1得，a=5，b=3，

∴c＝

a2−b2＝

25−9＝4，则椭圆两个焦点F1（0，-4），F2（0，4），

又A（1，-3），

|F2M|+|MA|≥|F2M|+|MF1|-|AF1|=2a-|AF1|=10-|AF1|．

当

MF1与

AF1同向共线时取等号，即取最小值．

而|AF1|＝

(1−0)2+(−3+4)2＝

2．

∴当点M在椭圆上并在线段F1A的延长线上时取得最小值，

|F2M|+|MA|的值最小为10−

2；

（2）当|F2M|+|MA|取得最小值时，点M在直线AF1上，可求得

直线AF1的方程为：y=x-4．

直线AF1与椭圆相交于两点

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及圆锥曲线中的最值问题，往往要借助于圆锥曲线的定义解决，体现了数学转化思想方法，弦长公式实际上是两点间距离公式的简化形式，此题是中档题．

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