在直角坐标系xOy中，点 M(2，- 1 2 ) ，点F为抛物线C：y=mx 2 （m＞0）的焦点，线段MF恰被抛物线C
1个回答
（Ⅰ）焦点F的坐标为 (0，
1
4m ) ，线段MF的中点 N(1，
1
8m -
1
4 ) 在抛物线C上，
∴
1
8m -
1
4 =m ，∴8m 2+2m-1=0，∴ m=
1
4 （ m=-
1
2 舍）．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：抛物线C：x 2=4y，F（0，1）．
设l方程为： y+
1
2 =k(x-2) ，A（x 1，y 1）、B（x 2，y 2），
则由
y+
1
2 =k(x-2)
x 2 =4y 得：x 2-4kx+8k+2=0，△=16k 2-4（8k+2）＞0，
解得 k＜
2-
6
2 或 k＞
2+
6
2 ．
由韦达定理可得，
x 1 + x 2 =4k
x 1 x 2 =8k+2 ，…（8分）
假设k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1+k 3=2k 2．
而 k 1 + k 3 =
y 1 -1
x 1 +
y 2 -1
x 2 =
x 2 y 1 + x 1 y 2 - x 2 - x 1
x 1 x 2 =
x 2 x 1 2
4 +
x 1 x 2 2
4 - x 2 - x 1
x 1 x 2
=
(
x 1 x 2
4 -1)( x 1 + x 2 )
x 1 x 2 =
(
8k+2
4 -1)•4k
8k+2 =
4 k 2 -k
4k+1 ，…（11分）
∵ k 2 =-
3
4 ，∴
4 k 2 -k
4k+1 =-
3
2 ，8k 2+10k+3=0，解得： k=-
1
2 ＜
2-
6
2 （符合题意）， k=-
3
4 （此时直线l经过焦点F，k 1=k 2=k 3，不合题意，舍去），…（14分）
直线l的方程为 y+
1
2 =-
1
2 (x-2) ，即x+2y-1=0．
故k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，直线l的方程为：x+2y-1=0． …（15分）
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