因为三棱锥A-A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；
易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；
连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；
故选D．
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