o为三角形abc内一点,bo,co延长线分别交ac.,ab于d,e.如果BE×BA+CD×CA=BC
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作∠CDF = ∠ABC 交CB于F,连接EF△CDF 相似于△CBA,

所以 CD×CA = CF×CB = CF×(CF+FB)

即有 BE×BA = BC^2-CD×CA =(CF+FB)^2 -CF×(CF+FB)=FB×(FB+CF)= BF×BC

又 ∠EBF=∠CAB ,

所以△BEF相似于△BCA

综上,△CDF 相似于△CBA 相似于△EBF

所以 CF/DF=EF/BF,∠EFC=∠EFD+∠DFC=∠EFB+∠DFC=∠DFE.

因此 △CFE 相似于 △DFB

于是,∠ADB=∠DCF+∠DBF=∠BEF+∠CEF=∠BEC

所以 ∠ADB +∠AEC =∠BEC +∠AEC = 180°对角互补的四边形,四个顶点在同一圆上 ,

所以A,D,O,E四点共圆

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