已知O是锐角△ABC的外接圆的圆心,且∠A=θ,若(cosB/sinA)*向量AB+(cosC/sinB)*向量AC=2
2个回答
貌似(cosB/sinA)*向量AB应该是(cosB/sinC)*向量AB 更为合理!
设外接圆半径为R,则：
(cosB/sinC)*向量AB+(cosC/sinB)*向量AC=2m*向量AO可化为：
(cosB/sinC)*(向量OB-向量OA)+(cosC/sinB)*(向量OC-OA)=-2m*向量OA （*）
易知向量OB与OA的夹角为2∠C,向量OC与OA的夹角为2∠B,向量OA与OA的夹角为0,
|向量OA|=|向量OB|＝|向量OC|=R
则对(*)式左右分别与向量OA作数量积,可得：
(cosB/sinC)*(向量OB*向量OA－向量OA*向量OA)+(cosC/sinB)*(向量OC*向量OA－向量OA*向量OA)=－2m*(向量OA*向量OA)
即(cosB/sinC)*R²(cos2C -1)+(cosC/sinB)*R²(cos2B -1)=-2m*R²
2sin²C*cosB/sinC +2sin²B*cosC/sinB=2m
sinC*cosB+sinB*cosC=m
sin(B+C)=m
因为sinA＝sin[π-(B+C)]=sin(B+C)且∠A=θ
所以m=sinA=sinθ
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