从小到大排列的三个数构成等比数列，它们的积为8，并且这三个数分别加上2、2、1后成等差数列{an}中的a3、a4、a5．
1个回答
解题思路：（Ⅰ）先通过条件计算出a3、a4、a5，进而求出首项和公差，从而求出通项公式．
（Ⅱ）通过式子求bn，然后求Tn．
（Ⅰ）设小到大排列的三个数分别为[a/q，a，aq，则
a
q⋅a⋅aq＝a3＝8，解得a=2．所以这三个数为
2
q，2，2q．这三个数分别加上2、2、1后为
2
q+2，4，2q+1，即a3＝
2
q+2，a4＝4，a5＝2q+1，
又a3、a4、a5为等差数列，所以a3+a5=2a4，即
2
q+2+2q+1＝2×4＝8，即2q2-5q+2=0．解得q=2或q=
1
2]．
因为三个数是从小到大成等比数列，所以q=[1/2]不成立，舍去，所以q=2．
所以三个数为，1，2，4．即a3=3，a4=4，a5=5．
所以公差d=1，所以数列{an}的通项公式为an＝a3+(n−3)＝n，n∈N•．
（Ⅱ）因为bn＝
an+1
an+
an
an+1＝
n+1
n+
n
n+1＝2+
1
n−
1
n+1，
所以Tn＝(2+1−
1
2)+(2+
1
2−
1
3)+…+(2+
1
n−
1
n+1)
=2n+1−
1
2+
1
2−
1
3+…+
1
n−
1
n+1＝2n+1−
1
n+1＝2n+
n
n+1．
即数列{bn}的前项和为Tn＝2n+
n
n+1，n∈N•．
点评：
本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
考点点评： 本题考查等差数列和等比数列的基本运算，等差数列的通项公式，以及数列求和．
相关问题
