若实数x，y满足1+cos2πx=(x+2y)2+1x+2y，则x2+（y+1）2的最小值为______．
1个回答

解题思路：由1+cos2πx=

(x+2y

)

2

+1

x+2y

判定出x+2y≥0；利用基本不等式得出1+cos2πx≥2，又1≤1+cos2πx≤2，得出x=k（k∈Z）代入利用二次函数的最值求出x2+（y+1）2的最小值

∵1+cos2πx=

(x+2y)2+1

x+2y，

∴1+cos2πx=(x+2y)+

1

x+2y，

∴x+2y≥0；

1+cos2πx=(x+2y)+

1

x+2y≥2，

∵1≤1+cos2πx≤2，

∴cos2πx=1，此时x+2y=1，πx=kπ，

∴x=k（k∈Z），

∴x2+（y+1）2=

5k2−6k+1

4+2，

对称轴k=[3/5]，

∴k=1时有最小值2，

故答案为：2．

点评：

本题考点： 基本不等式；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 本题考查基本不等式的应用、三角函数的有界限、二次函数最值的求法．属于一道中档题．

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