已知圆C以C(t，2t)(t∈R，t≠0)为圆心且经过原点O．

已知圆C以

C(t，

2

t

)(t∈R，t≠0)

为圆心且经过原点O．

（Ⅰ）若直线2x+y-4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

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由题知，圆C方程为(x−t)2+(y−

2

t)2＝t2+

4

t2，

化简得x2−2tx+y2−

4

ty＝0

（Ⅰ）∵|OM|=|ON|，则原点O在MN的中垂线上，

设MN的中点为H，则CH⊥MN．

∴C，H，O三点共线，

则直线OC的斜率k＝

2

t

t＝

2

t2＝

1

2⇒t＝2或t=-2，

知圆心C（2，1）或C（-2，-1），

所以圆方程为（x-2）2+（y-1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5，

由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2=5时，

直线2x+y-4=0到圆心的距离d＞r，不满足直线和圆相交，故舍去．

∴圆C方程为（x-2）2+（y-1）2=5．

（Ⅱ） 点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（-4，-2），

则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，

又B′到圆上点Q的最短距离为|B/C|−r＝

(−6)2+32−

5＝3

5−

5＝2

5，

所以|PB|+|PQ|的最小值为2

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