解题思路：（Ⅰ）由已知设圆C的方程是（x-t）2+（y-[2/t]）2=t2+
4
t
2
，由此能求出△OAB的面积为定值4．
（Ⅱ）由已知得OC垂直平分线段MN．由kMN=-2，得直线OC的方程是y=
1
2
x
．从而解得：t=2或t=-2，由此能求出圆C的方程．
（Ⅲ）设圆心C到EG、FH的距离分别为d1，d2，则
d
1
2
+
d
2
2
＝2
，由此能求出四边形EFGH的面积的最大值为8．
（Ⅰ）证明：∵圆C过原点O，∴OC2＝t2+
4
t2．
设圆C的方程是（x-t）2+（y-[2/t]）2=t2+[4
t2，…（2分）
令x=0，得y1＝0，y2＝
4/t]；
令y=0，得x1=0，x2=2t，
∴S△OAB＝
1
2×OA×OB=[1/2×|
4
t|×|2t|=4，
即△OAB的面积为定值4．…（4分）
（Ⅱ）∵OM=ON，CM=CN，∴OC垂直平分线段MN．
∵kMN=-2，∴kOC=
1
2]，
∴直线OC的方程是y=[1/2x．
∴
2
t＝
1
2t，解得：t=2或t=-2．…．（6分）
当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），OC=
5]，
此时C到直线y=-2x+4的距离d＝
1
5＜
5，
圆C与直线y=-2x+4相交于两点．…．（7分）
当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1），OC=
5，
此时C到直线y=-2x+4的距离d=
9
5＞
5，
圆C与直线y=-2x+4不相交，…．（8分）
∴t=-2不符合题意舍去．
∴圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5．…．（9分）
（Ⅲ）设圆心C到EG、FH的距离分别为d1，d2，
则d12+d22＝2，
四边形EFGH的面积S=[1/2|EG||FH|
=2
5−d12]•
5−d22≤8，…．（12分）
所以四边形EFGH的面积的最大值为8．…..（13分）
点评：
本题考点： 圆的标准方程．
考点点评： 本题考查三角形面积为定值的证明，考查圆的方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．
