已知以点C
(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.
(1)求证:△AOB的面积为定值;
(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M、N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;
(3)在(2)的条件下,设P、Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.
已知以点C
(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.
(1)求证:△AOB的面积为定值;
(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M、N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;
(3)在(2)的条件下,设P、Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.
(1)见解析(2)(x-2) 2+(y-1) 2=5(3)
(1)由题设知,圆C的方程为(x-t) 2+
=t 2+
,化简得x 2-2tx+y 2-
y=0,当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或
,则B
,
∴S Δ AOB=
|OA|·|OB|=
|2t|·
=4为定值.
(2)∵|OM|=|ON|,则原点O在MN的中垂线上,设MN的中点为H,则CH⊥MN,∴C、H、O三点共线,则直线OC的斜率k=
,∴t=2或t=-2,
∴圆心C(2,1)或C(-2,-1)∴圆C的方程为(x-2) 2+(y-1) 2=5或(x+2) 2+(y+1) 2=5,由于当圆方程为(x+2) 2+(y+1) 2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,此时不满足直线与圆相交,故舍去.
∴圆C的方程为(x-2) 2+(y-1) 2=5
(3)点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B′(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|,又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|-r=
-
=3
-
=2
.
所以|PB|+|PQ|的最小值2
,直线B′C的方程为y=
x,则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为
.
-
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