设函数f（x）=（3-a）lnx+[1/x]+3ax，a∈R．
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解题思路：（Ⅰ）求出f（1）的值，即求出切点的坐标，求出f（x）在x=1处的导函数的值，即为切线的斜率，再根据直线的点斜式写出切线方程．
（Ⅱ）由f（x）在[1，3]上是单调递增函数，有f′（x）≥0，在[1，3]上恒成立，得出不等式，求出a的取值范围，
（Ⅲ）若对任意x1，x2∈[1，3]，不等式|f（x1）-f（x2）|＜[16/3]+2ln3恒成立，即
f(x
)
max
−f(x
)
min
＜
16
3
+2ln3
，求出a的取值范围．
（Ⅰ）当a=0时，f(x)＝3lnx+
1
x，则f′(x)＝
3
x−
1
x2，
∴f'（1）=2，y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-1．
（Ⅱ）由题知当x∈[1，3]时，恒有f′(x)＝
3−a
x−
1
x2+3a≥0，
即3ax2+（3-a）x-1≥0，（3x-1）（ax+1）≥0，
∵x∈[1，3]，∴ax+1≥0，
∴
a+1≥0
3a+1≥0，∴a≥−
1
3．
（Ⅲ）∵a＞0，由（Ⅱ）知f（x）在[1，3]上是增函数，
∴f(x)max＝f(3)＝(3−a)ln3+
1
3+9a，f（x）min=f（1）=1+3a．
∴|f(x1)−f(x2)|≤|f(3)−f(1)|＝(3−a)ln3−
2
3+6a，
由题知(3−a)ln3−
2
3+6a＜
16
3+2ln3
解得a＜1，
∴0＜a＜1．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题利用求切线方程，求单调区间，求最值，运用等价转化思想，函数与方程思．是一道导数综合题．属于中档题．
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