解题思路：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+[1/x]，可求得f′（x）=[2x−1
x
2
，将f（x），f′（x）随x变化情况列表即可求得f（x）的极值；
（2）由题意，g（x）=（2-a）lnx+2ax，在[1，+∞）上单调递增⇔g′（x）=
2−a/x]+2a≥0在[1，+∞）上恒成立，设h（x）=2ax+2-a≥0在[1，+∞）上恒成立，对a分a=0，a＞0，a＜0讨论即可求得答案；
（3）由题意得，f′（x）=
2a
x
2
+(2−a)x−1
x
2
，令f′（x）=0得x1=-[1/a]，x2=[1/2]，对a分a＞0，a＜0（对a再分a＜-2，a=-2，-2＜a＜0）讨论即可求得答案．
（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=0时，f（x）=2lnx+[1/x]，故f′（x）=[2/x−
1
x2]=[2x−1
x2，
由f′（x）=0得x=
1/2]．
f（x），f′（x）随x变化如下表：
x （0，[1/2]） [1/2] （ [1/2]，+∞）
f（x） - 0 +
f′（x） ↘ 极小值 ↙故a=0时，f（x）极小值=f（[1/2]）=2-2ln2，没有极大值；
（2）由题意，f′（x）=
2ax2+(2−a)x−1
x2
令f′（x）=0，解得x1＝−
1
a，x2＝
1
2．
若a＞0，由f′（x）≤0得x∈（0，[1/2]]；由f′（x）≥0得x∈[[1/2]，+∞）．
若a＜0，①当a＜-2时，-[1/a]＜[1/2]，x∈（0，-[1/a]]或x∈[[1/2]，+∞），f′（x）≤0；x∈[-[1/a]，[1/2]]，f′（x）≥0，
②当a=-2时，f′（x）≤0恒成立．
③当-2＜a＜0时，-[1/a]＞[1/2]，x∈（0，[1/2]]或x∈[-[1/a]，+∞），f′（x）≤0；x∈[[1/2]，-[1/a]]，f′（x）≥0．
综上，当a＞0时，函数的单调递减区间为（0，[1/2]]，单调递增区间为[[1/2]，+∞）；
当-2＜a＜0时，函数的单调递减区间为（0，[1/2]]，[-[1/a]，+∞），单调递增区间为[-[1/2]，-[1/a]]；
当a=-2时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
当a＜-2时，函数的单调递减区间为（0，-[1/a]]，[[1/2]，+∞），单调递增区间为[-[1/a]，[1/2]]．
（3）当a=2时，f（x）=[1/x]+4x，f′（x）=
4x2−1
x2．
∵x∈[[1/2]，6+n+[1/n]]，∴f′（x）≥0
∴f（x）min=f（[1/2]）=4，f（x）max=f（6+n+[1/n]）
由题意，mf(
1
2)＜4f(6+n+
1
n)恒成立．
令k=6+n+[1/n]≥8，且f（k）在[6+n+[1/n]，+∞）上单调递增，
∴fmin(k)＝32
1
8，因此m＜32
1
8，而m是正整数，故m≤32，
所以，m=32时，存在a1=a2=…=a32=[1/2]，am+1=am+2=am+3=am+4=8时，对所有n满足题意，∴mmax=32．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；数列的求和．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，正确求导是关键．
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