已知：如图,在ΔABC中,∠C=90º,AC=BC - 已解决

已知：如图,在ΔABC中,∠C=90º,AC=BC,M是AB的中点,P是AB上一动点（P不与A、B重合）,PE

已知：如图,在ΔABC中,∠C=90º,AC=BC,M是AB的中点,P是AB上一动点（P不与A、B重合）,PE⊥AC于E,PF⊥BC于F

⑴求证ME=MF,ME⊥MF

⑵如果点P移动到AB延长线上,上题的结论是否依然成立,加以证明

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（1）首先连接C、M两点.

已知ac=bc 角ABC是直角所以△ABC为等腰直角三角形.

PF⊥BC,所以△PFB也是一个以等腰直角三角形且PF=BF.

另PE⊥AC 所以四边形CFPE为矩形

EC=PF=BF.且等边直角三角形的中线等于斜边的二分之一

则CM=BM.角ACM=角FBM.

综上所述△ECM和△FBM为全等三角形 MF=ME.角EMC=角FMB.角CMF+角FMB=90°

所以角CMF+角EMC=角EMF=90°

即所以 ME⊥MF.

（2）

延长AB AC CB

角ACB=90 所以角FCE=90且已知PE⊥AC于E,PF⊥BC于F

综上四边形CEPF为矩形所以 CE=PF

角MCB=45 所以角CBM=45=角FBP

所以三角形BFP为等腰直角三角形

则CE=BF

已知CM=MB 且CE=BF

角MCE=角MBF=135°

可以得出△MCE和△MBF是全等三角

则ME=MF 且角CME+角EMB=90

所以角EMB+角BMF=90 即 ME⊥MF

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