设F1(x),F2(x)为两个分布函数,其相应的概率密度f1(x),f2(x)是连续函数,则必为概率密度的是(  )
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解题思路:根据概率密度函数的性质

+∞

−∞

f(x)dx=1

和分布函数的性质

lim

x→−∞

F(x)=0

lim

x→+∞

F(x)=1

,就可选出答案.

∵F1(x),F2(x)为两个分布函数,其相应的概率密度f1(x),f2(x)是连续函数,

∴F1′(x)=f1(x),F2′(x)=f2(x)

∫+∞−∞f1(x)dx=F1(x)

|+∞−∞=1,

∫+∞−∞f2(x)dx=F2(x)

|+∞−∞=1,

①选项A.

由于f1(x)f2(x)的原函数并不知道,因此并不能保证

∫+∞−∞f1(x)f2(x)dx=1,

例如:

故A不正确;

②选项B.

由于2f2(x)F1(x)的原函数并不知道,因此并不能保证

∫+∞−∞2f2(x)F1(x)dx=1,

故B不正确;

③选项C.

理由同上,并不能保证

∫+∞−∞f1(x)F2(x)dx=1,

故C不正确.

④选项D.

∵[F1(x)F2(x)]′=f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x),

∫+∞−∞[f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)]dx=F1(x)F2(x)

|+∞−∞=1,

从而:f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)必为密度函数.

故选D.

点评:

本题考点: 连续型随机变量的函数的概率密度的求解;分布函数的性质.

考点点评: 此题考查概率密度函数和分布函数的基本性质,运用这些性质,就能选出正确答案.