求下式的不定积分 ∫d2x/sin2x
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∫d2x/sin2x

=∫sin2x dx/(sin2x)^2

=-∫dcos2x/(1-(cos2x)^2)

=-(1/2)∫dcos2x*(1/(1-cos2x)+1/(1+cos2x))

=-(1/2)∫dcos2x/(1-cos2x)-(1/2)∫dcos2x/(1+cos2x)

=(1/2)ln|1-cos2x|-(1/2)ln|1+cos2x|+C

=(1/2)ln|(1-cos2x)/(1+cos2x)|+C

=(1/2)ln|2(sinx)^2/2/(cosx)^2|+C

=ln|tanx|+C

下一步为原式=ln|csc2x-cot2x|+C

这一步不能直接得到,但是经过计算,你可以发现csc2x-cot2x=tanx,对吧.

为什么它直接写出ln|csc2x-cot2x|+C ,是因为有些书上直接把∫dx/sinx=ln|cscx-cotx|+C作为公式来用了.

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