高等数学微分方程,求助大侠!二阶常系数线性齐次微分方程中当将征方程的两个根相等时,y1=e^r1x y2=xe^rx,问

高等数学微分方程,求助大侠!

二阶常系数线性齐次微分方程中当将征方程的两个根相等时,y1=e^r1x y2=xe^rx,问y2是如何求出的,网上都说用常数变异法,请问怎么求?谢谢大虾们了.

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1个回答

为什么大家都不认真看书呢,这个书上应该有吧?

这个不是常数变易法,是构造法.

设原微分方程是：y''+ay'+by=0,现已知y1=e^(rx)是方程的一个解,下面求另一个解,由于另一个解y2与y1=e^(rx)线性无关,因此设：y2/y1=u(x),即：y2=ue^(rx)

令其满足原微分方程,我们来求u即可,

先求y2=ue^(rx)的一二阶导数

[ue^(rx)]'=u'e^(rx)+rue^(rx)

[ue^(rx)]''=[u'e^(rx)+rue^(rx)]'=u''e^(rx)+2rue^(rx)+r²e^(rx)

将y2=ue^(rx)代入原方程：

u''e^(rx)+2rue^(rx)+r²ue^(rx) + a[u'e^(rx)+rue^(rx)] + bue^(rx)=0

消去e^(rx),整理得：u''+(2r+a)u'+(r²+ar+b)u=0 (1)

由于r²+ar+b是特征多项式,r是特征根,因此r²+ar+b=0

由于r是r²+ar+b=0的重根,因此r=-a/2,则2r+a=0

因此（1）化为：u''=0

因此u为一次函数或常数,由前面的题设知,u不是常数,因此u是一次函数,也就是说,当u取任意一个一次函数时,ue^(rx)均是微分方程的一个解,我们这里需要一个特定的u,因此取一次函数中最简单的一个,u=x,得方程的另一个解为：y2=xe^(rx)

希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,谢谢.

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