已知函数f1(x)＝2x−1x+1，对于n∈N*，定义fn+1（x）=f1[fn（x）]，则f2011（x）=[2x−1
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解题思路：函数对于n∈N*，定义fn+1（x）=f1[fn（x）]，故f2（x）=f1[f1（x）]=f1（[2x−1/x+1]）=[x−1/x]．f3（x）=f1（[x−1/x]）=[x−2/2x−1]，f4（x）=f1（[x−2/2x−1]）=[1/1−x]，f5（x）=f1（[1/1−x]）=[x+1/2−x]，f6（x）=f1（[x+1/2−x]）=x，f7（x）=f1（x）=[2x−1/x+1]．所以从f1（x）到f6（x），每6个一循环．由此能求出结果．
∵函数对于n∈N*，定义fn+1（x）=f1[fn（x）]，
∴f2（x）=f1[f1（x）]=f1（[2x−1/x+1]）=
2•
2x−1
x+1−1
2x−1
x+1+1=[x−1/x]．
f3（x）=f1[f2（x）]=f1（[x−1/x]）=
2•
x−1
x−1
x−1
x+1=[x−2/2x−1]，
f4（x）=f1[f3（x）]=f1（[x−2/2x−1]）=
2•
x−2
2x−1−1
x−2
2x−1+1=[1/1−x]，
f5（x）=f1[f4（x）]=f1（[1/1−x]）=
2•
1
1−x−1
1
1−x+1=[x+1/2−x]，
f6（x）=f1[f5（x）]=f1（[x+1/2−x]）=
2•
x+1
2−x−1
x+1
2−x+1=x，
f7（x）=f1[f6（x）]=f1（x）=[2x−1/x+1]=f1（x）．
所以从f1（x）到f6（x），每6个一循环．
∵2011=335×6+1，
∴f2011（x）=f1(x)＝
2x−1
x+1，
故答案为：[2x−1/x+1]．
点评：
本题考点： 函数的周期性．
考点点评： 本题考查函数的周期性，是基础题．解题时要认真审题，解题的关键是得到从f1（x）到f6（x），每6个一循环．
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