1.已知如图,△ABC中,AC=BC,以BC为直径的圆O交AB于E,过点E作EG⊥AC于G交BC的延长线于F.
(1)求证:AE=BE;(2)求证:EF是圆O的切线;(3)若BC=6,FE=4,求证FC和AG的长.
飞猪迷:
(1)
连接CE、OE
∵BC是⊙O的直径
∴∠BEC=90°
∴CE⊥AB
又∵AC=BC
∴AE=BE
(2)
由(1)可知:
AE=BE
又∵OB=OC
∴OE是△ABC的中位线
∴OE‖AC
∴∠OEC=∠ACE
又∵EG⊥AC
∴∠CEG+∠ACE=90°
∴∠CEG+∠OEC=90°=∠OEF
∴OE⊥EF
∴EF是⊙O的切线
(3)
由(2)可知:
∠OEF=90°
∵∠BEC=90°
∴∠OEF=∠BEC
∴∠OEF-∠OEC=∠BEC-∠OEC
即:∠CEF=∠OEB
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB
∴∠CEF=∠OBE
又∵∠F=∠F
∴△ECF∽△BEF
∴EF/CF=BF/EF
即:EF²=CF•BF
设CF=x,则有:
x(6+x)=4²
x²+6x=16
x²+6x+9=16+9
(x+3)²=25
x+3=±5
x=±5-3
∴x1=2,x2=-8(负值不合题意,舍去)
∴CF=2
∵OE‖AC
∴CG/OE=CF/OF
∴CG/3=2/(3+2)
解得:CG=6/5
∴AG=AC-CG=6-(6/5)=24/5
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