解题思路：（I）根据2an=Sn+2n+1，分别取n=1，2，3，可求出a1，a2，a3的值；
（II）因为2an=Sn+2n+1，所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立，两式相减可得an+1+2=2（an+2），然后根据等比数列定义可得结论；
（III）先求出数列{n•an}的通项公式，然后利用错位相消法进行求和即可．
（本小题满分13分）
（I） 由题意，当n=1时，得2a1=a1+3，解得a1=3．
当n=2时，得2a2=（a1+a2）+5，解得a2=8．
当n=3时，得2a3=（a1+a2+a3）+7，解得a3=18．
所以a1=3，a2=8，a3=18为所求．…（3分）
（Ⅱ）证明：因为2an=Sn+2n+1，所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立．
两式相减得：2an+1-2an=an+1+2．
所以an+1=2an+2（n∈N*），即an+1+2=2（an+2）．…（5分）
所以数列{an+2}是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列．…（7分）
（Ⅲ） 由（Ⅱ） 得：an+2=5×2n-1，即an=5×2n-1-2（n∈N*）．
则nan=5n•2n-1-2n（n∈N*）．…（8分）
设数列{5n•2n-1}的前n项和为Pn，
则Pn=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×（n-1）•2n-2+5×n•2n-1，
所以2Pn=5×1×21+5×2×22+5×3×23+…+5（n-1）•2n-1+5n•2n，
所以-Pn=5（1+21+22+…+2n-1）-5n•2n，
即Pn=（5n-5）•2n+5（n∈N*）．…（11分）
所以数列{n•an}的前n项和Tn=(5n-5)•2n+5-2×
n(n+1)
2，
整理得，Tn=（5n-5）•2n-n2-n+5（n∈N*）．…（13分）
点评：
本题考点： ["氧气与碳、磷、硫、铁等物质的反应现象","棉纤维、羊毛纤维和合成纤维的鉴别"]
考点点评： 本题主要考查了等比关系的确定，以及利用错位相消法求和，同时考查了计算能力，属于中档题．
