如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直

如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．

（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明DM=DN；②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；

（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出写出结论，不用证明．

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解题思路：（1）连接BD，证明△DMB≌△DNC．根据已知，全等条件已具备两个，再证出∠MDB=∠NDC，用ASA证明全等，四边形DMBN的面积不发生变化，因为它的面积始终等于△ABC面积的一半；

（2）成立．同样利用（1）中的证明方法可以证出△DMB≌△DNC；

（3）结论仍然成立，方法同（1）．

（1）①如图1，连接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，

∴DB=DC=AD，∠BDC=90°，

∴∠ABD=∠C=45°，

∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，

∴∠MDB=∠NDC，

∴△BMD≌△CND（ASA），

∴DM=DN；

②四边形DMBN的面积不发生变化；

由①知△BMD≌△CND，

∴S△BMD=S△CND，

∴S四边形DMBN=S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC=S△DBC=[1/2]S△ABC=[1/2]×(

2

2)2=[1/4]；

（2）DM=DN仍然成立；

证明：如图2，连接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，

∴DB=DC，∠BDC=90°，

∴∠DCB=∠DBC=45°，

∴∠DBM=∠DCN=135°，

∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°，

∴∠CDN=∠BDM，

则在△BMD和△CND中，

∠BDM＝∠CDN

DB＝DC

∠DBM＝∠DCN，

∴△BMD≌△CND（ASA），

∴DM=DN．

（3）DM=DN．

点评：

本题考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评： 本题利用ASA求三角形全等，还运用了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，及等腰三角形三线合一定理，勾股定理和面积公式的利用等知识．

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