解题思路：对于①，在等式f（x）+f（l-x）=l中取x=0，得f（1）=0，然后直接利用“非增函数”的定义进行判断；

对于③，由

x∈[0，

1

4

]

时，f（x）≤-2x+1恒成立得到f（[1/4]）

≤

1

2

，在等式f（x）+f（l-x）=l中，取x=[1/2]得到

f（[1/2]）=[1/2]，而[1/4＜

1

2]，从而说明

f(

1

4

)≥

1

2

．利用两边夹的思想得到f（[1/4]）=[1/2]．同理得到

f(

3

4

)＝

1

2

．结合新定义即可得到结论；

对于②，由③的证明能说明其不正确；

把给出的等式f（x）+f（l-x）=l变形即可得到命题④正确．

对于①，因为f（0）=1，且f（x）+f（l-x）=l，取x=0，得f（1）=0，对∀x∈[0，1]，根据“非增函数”的定义知f（x）≥0．所以①正确；

对于③，因为当x∈[0，

1

4]时，f（x）≤-2x+1恒成立，f（[1/4]）≤

1

2，

又f（x）+f（l-x）=l，所以f（[1/2]）=[1/2]，而[1/4＜

1

2]，所以f(

1

4)≥

1

2．所以f（[1/4]）=[1/2]．

同理有f(

3

4)＝

1

2．当x∈[

1

4，

3

4]，由“非增函数”的定义可知，f(

3

4)≤f(x)≤f(

1

4)，所以f(x)＝

1

2．

所以③正确；

对于②，由③可知当x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂时，f（x₁）与f（x₂）可能相等．所以②不正确；

对于④，由f（x）+f（l-x）=l，得f(

1

2+x)+f(

1

2−x)＝1．

所以函数f（x）的图象关于点(

1

2，

1

2)对称．

所以正确命题的序号是①③④．

故答案为①③④．

点评：

本题考点： 命题的真假判断与应用；全称命题；奇偶函数图象的对称性．

考点点评： 本题考查了命题的真假判断与运用，考查了抽象函数的性质，解答的关键是正确理解新定义，考查了学生的抽象思维能力，是中档题．

1年前

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