已知数列{an}中，a1＝13，an+1＝13an，bn=log3an+5．
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解题思路：（I）利用等比数列的通项公式即可得出；（II）利用（I）和对数的运算法则可得bn，再令bn≥0解得n，即可得出；（III）计算Cn+1-Cn即可得出数列Cn的单调性，则“存在整数k，使得Cn＞k35对∀n∈N*恒成立”⇔(Cn)min＞k35，解出即可．
（Ⅰ）由an+1＝
1
3an，
∴数列{an}是首项为[1/3]公比为[1/3]的等比数列，
∴an＝(
1
3)n．
（II）由bn=log3an+5=log33−n+5=-n+5．
∴bn=-n+5．
当n＞5时，bn＜0；当n≤5时，bn≥0，
∴当n=4或n=5时，Tn取最大值，
此时T4＝T5＝
(4+0)×5
2＝10．
（III）Cn＝(
1
3)n×(5−n)，
由Cn+1−Cn＝(
1
3)n+1×(4−n)−(
1
3)n×(5−n)
=(
1
3)n+1×(4−n−15+3n)
=(
1
3)n+1×(2n−11)，
得当n≤5时，Cn+1＜Cn；当n＞5时，Cn+1＞Cn，
即C6，是数列{Cn}的最小项，C6＝−(
1
3)6．
又Cn＞
k
35对∀n∈N*恒成立，即(Cn)min＞
k
35，
∴−(
1
3)6＞
k
35，解得k＜−
1
3．
∴存在整数k，使得Cn＞
k
35对∀n∈N*恒成立，此时k的最大值为-1．
点评：
本题考点： 数列递推式；数列的求和；数列与不等式的综合．
考点点评： 本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算法则、数列的单调性、数列前n项和的性质、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于难题．
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