如图,设P为长方形ABCD所在平面外一点,M、N分别为AB、PD上的点,且[AM/MB]=[DN/NP],求证:直线MN∥平面PBC.
解题思路:要证直线MN∥平面PBC,只需证明MN∥平面PBC内的一条直线(法一和法三)
MN所在的某个平面∥平面PBC(法二).
证明:证法一:过N作NR∥DC交PC于点R,连接RB,
依题意得[DC−NR/NR]=[DN/NP]=[AM/MB]=[AB−MB/MB]=[DC−MB/MB]⇒NR=MB.
∵NR∥DC∥AB,∴四边形MNRB是平行四边形.
∴MN∥RB.又∵RB⊊平面PBC,∴直线MN∥平面PBC.
证法二:过N作NQ∥AD交PA于点Q,连接QM,∵[AM/MB]=[DN/NP]=[AQ/QX],
∴QM∥PB.又NQ∥AD∥BC,∴平面MQN∥平面PBC.∴直线MN∥平面PBC.
证法三:过N作NR∥DC交PC于点R,连接RB,依题意有[BM/A]=[PN/PD]=[NR/DC],
∴
NR=
MB,
BR=++
NR=
MN.∴MN∥RB.又∵RB⊊平面PBC,∴直线MN∥平面PBC.
点评:
本题考点: 直线与平面平行的判定.
考点点评: 本题考查直线与平面的平行的判定,是基础题.
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