已知抛物线x2=2py（p＞0）上一点P的坐标为（x0，y0）及直线y＝−p2上一点Q(m，−p2)，过点Q作抛物线的两
1个回答
解题思路：（1）由x2=2py（p＞0）得
y＝
1
2p
x
2
，故
y′＝
1
p
x
，由此能求出过点P与抛物线相切的直线l的方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线QA方程为x1x-p（y+y1）=0，直线QB方程为x2x-p（y+y2）=0，又点
Q(m，−
p
2
)
为直线QA，QB的交点，能求出直线AB的方程．
（3）由AB的方程知直线AB过定点，定点坐标坐标为
(0，
p
2
)
．
（1）由x2=2py（p＞0）得y＝
1
2px2，故y′＝
1
px，故过点P与抛物线相切的直线l的方程为y−y0＝
x0
p(x−x0)，
化简得，x0x-p（y+y0）=0（5分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）得，直线QA方程为x1x-p（y+y1）=0，
直线QB方程为x2x-p（y+y2）=0，又点Q(m，−
p
2)为直线QA，QB的交点，
故x1m−p(−
p
2+y1)＝0，x2m−p(−
p
2+y2)＝0
故点A，B都在直线上mx−p(y−
p
2)＝0，
即直线AB的方程为mx−p(y−
p
2)＝0（12分）
（3）由（2）知直线AB过定点，定点坐标坐标为(0，
p
2)（15分）
注：其他解法相应给分．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；恒过定点的直线．
考点点评： 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
相关问题
