如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线 y= 2 3 x 2 于P，Q两点．
1个回答
（1）证明：如图，分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为C，D．
设点A的坐标为（0，t），则点B的坐标为（0，-t）．
设直线PQ的函数解析式为y=kx+t，并设P，Q的坐标分别为（x P，y P），（x Q，y Q）．由
y=kx+t
y=
2
3 x 2 ，
得
2
3 x 2 -kx-t=0 ，
于是 x P x Q =-
3
2 t ，即 t=-
2
3 x P x Q ．
于是
BC
BD =
y P +t
y Q +t =
2
3 x P 2 +t
2
3 x Q 2 +t =
2
3 x P 2 -
2
3 x P x Q
2
3 x Q 2 -
2
3 x P x Q =
2
3 x P ( x P - x Q )
2
3 x Q ( x Q - x P ) =-
x P
x Q ．，
又因为
PC
QD =-
x P
x Q ，所以
BC
BD =
PC
QD ．
因为∠BCP=∠BDQ=90°，
所以△BCP ∽ △BDQ，
故∠ABP=∠ABQ；
（2）设PC=a，DQ=b，不妨设a≥b＞0，由（1）可知
∠ABP=∠ABQ=30°，BC=
3 a ，BD=
3 b ，
所以AC=
3 a-2 ，AD= 2-
3 b ．
因为PC ∥ DQ，所以△ACP ∽ △ADQ．
于是
PC
DQ =
AC
AD ，即
a
b =
3 a-2
2-
3 b ，
所以 a+b=
3 ab ．
由（1）中 x P x Q =-
3
2 t ，即 -ab=-
3
2 ，所以 ab=
3
2 ，a+b=
3
3
2 ，
于是可求得 a=2b=
3 ．
将 b=
3
2 代入 y=
2
3 x 2 ，得到点Q的坐标（
3
2 ，
1
2 ）．
再将点Q的坐标代入y=kx+1，求得 k=-
3
3 ．
所以直线PQ的函数解析式为 y=-
3
3 x+1 ．
根据对称性知，所求直线PQ的函数解析式为 y=-
3
3 x+1 或 y=
3
3 x+1 ．
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