点A为y轴正半轴上一点,A,B两点关于x轴对称,过点A任作直线交抛物线 于P,Q两点 (1)求证:∠ABP=∠ABQ
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设A(0,m)、B(0,-m),考虑到直线PQ斜率肯定存在,可以设PQ:y=kx+m,代入抛物线x²=2py中,得:x²-2pkx-2pm=0,此方程两根x1、x2即为点P(x1,y1)、Q(x2,y2)的横坐标.直线PB的斜率K1=(y1+m)/(x1)=(kx1+2m)/(x1),QB的斜率K2=(y2+m)/(x2)=(kx2+2m)/(x2).本题其实就是证明这两直线的斜率互为相反数.从而下面证明K1+K2=0即可.

K1+K2=(kx1+2m)/(x1)+(kx2+2m)/(x2)=2k+2m[(x1+x2)/(x1x2)]=2k+2m(2pk)/(-2pm)=0.