（文）已知数列{a n }的前n项和为S n ，a 1 = 1 4 且S n =S n-1 +a n-1 + 1 2 ，

（文）已知数列{a n}的前n项和为S n，a 1=

1

4

且S n=S n-1+a n-1+

1

2

，数列{b n}满足b 1=-

119

4

且3b n-b n-1=n（n≥2且n∈N *）．

（1）求{a n}的通项公式；

（2）求证：数列{b n-a n}为等比数列；

（3）求{b n}前n项和的最小值．

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1个回答

（1）由S n=S n-1+a n-1+

1

2 ，得S n-S n-1=a n-1+

1

2 ，2a n=2a n-1+1，a n-a n-1+

1

2 …2分

∴a n=a 1+（n-1）d=

1

2 n-

1

4

（2）证明：∵3b n-b n-1=n，∴b n=

1

3 b n-1+

1

3 n，

∴b n-a n=

1

3 b n-1+

1

3 n-

1

2 n+

1

4 =

1

3 b n-1-

1

6 n+

1

4 =

1

3 （b n-1-

1

2 n+

3

4 ）；

b n-1-a n-1=b n-1-

1

2 （n-1）+

1

4 =b n-1-

1

2 n+

3

4 ；

∴由上面两式得

b n - a n

b n-1 - a n-1 =

1

3 ，又b 1-a 1=-

119

4 -

1

4 =-30

∴数列{b n-a n}是以-30为首项，

1

3 为公比的等比数列．

（3）由（2）得b n-a n=-30× (

1

3 ) n-1 ，

∴ b n = a n -30× (

1

3 ) n-1 =

1

2 n-

1

4 -30× (

1

3 ) n-1 ，

b n-b n-1=

1

2 n-

1

4 -30× (

1

3 ) n-1 -

1

2 (n-1)+

1

4 +30× (

1

3 ) n-2

=

1

2 + 30× (

1

3 ) n-2 (1-

1

3 )

=

1

2 + 20× (

1

3 ) n-2 ＞0，∴{b n}是递增数列

当n=1时，b 1=-

119

4 ＜0；当n=2时，b 2=

3

4 -10 ＜0；

当n=3时，b 3=

5

4 -

10

3 ＜0；当n=4时，b 4=

7

4 -

10

9 ＞0，

所以，从第4项起的各项均大于0，故前3项之和最小．

且S 3=

1

4 (1+3+5)-30-10-

10

3 =-41

1

12 ．

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