（Ⅰ）证明：如图，过点A在平面A 1ABB 1内作AD⊥A 1B于D，
由平面A 1BC⊥侧面A 1ABB 1，且平面A 1BC∩侧面A 1ABB 1=A 1B，得
AD⊥平面A 1BC，又BC⊂平面A 1BC，
所以AD⊥BC．
因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱，
则AA 1⊥底面ABC，
所以AA 1⊥BC．
又AA 1∩AD=A，从而BC⊥侧面A 1ABB 1，
又AB⊂侧面A 1ABB 1，故AB⊥BC．
（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知∠ACD是直线AC与平面A 1BC所成的角，∠ABA 1是二面角A 1-BC-A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA 1=φ，
于是在Rt△ADC中， sinθ=
AD
AC ，在Rt△ADB中， sinφ=
AD
AB ，
由AB＜AC，得sinθ＜sinφ，又 0＜θ，φ＜
π
2 ，所以θ＜φ，
解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB 1所在的直线分
别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AA 1=a，AC=b，
AB=c，则B（0，0，0），A（0，c，0）， C(
b 2 - c 2 ，0，0)， A 1 (0，c，a) ，
于是
BC =(
b 2 - c 2 ，0，0)，
B A 1 =(0，c，a) ，
AC =(
b 2 - c 2 ，-c，0)，
A A 1 =(0，0，a) ．
设平面A 1BC的一个法向量为n=（x，y，z），
则由
n•
B A 1 =0
n•
BC =0 ．得
cy+az=0
b 2 - c 2 x =0 ．
可取n=（0，-a，c），于是 n•
AC =ac＞0，
AC 与n的夹角β为锐角，则β与θ互为余角． sinθ-cosβ=
n•
AC
|n|•|
AC | =
ac
b
a 2 + c 2 ， cosφ=
B A 1 •
BA
|
B A 1 |•|
BA | =
c
a 2 + c 2 ，
所以 sinφ=
a
a 2 + c 2 ，
于是由c＜b，得
ac
b
a 2 + c 2 ＜
a
a 2 + c 2 ，
即sinθ＜sinφ，又 0＜θ，φ＜
π
2 ，所以θ＜φ，
