如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，AB=BC=AA1=3，
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解题思路：（1）过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，由此能证明AB⊥BC．
（2）以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到直线A1B的距离．
（3）分别求出平面BEF的法向量和平面BEC的法向量，利用向量法能求出二面角F-BE-C的平面角的余弦值．
（1）证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，
则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，
且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，
∴AD⊥平面A1BC，
又∵BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．
∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC．
又∵AA1∩AD=A，∴BC⊥侧面A1ABB1，
又∵AB⊂侧面A1ABB1，∴AB⊥BC．…（4分）
（2）由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，
以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
B（0，0，0），A（0，3，0），C（3，0，0），A1（0，3，3）
∵线段AC、A1B上分别有一点E、F，满足2AE=EC，2BF=FA1，
∴E（1，2，0），F（0，1，1），
∴
EF＝(−1，−1，1)，
BA1＝(0，3，3)．
∵
EF•
BA1=0，∴EF⊥BA1，
∴点E到直线A1B的距离d＝|EF|＝
3．…（8分）
（3）
BE＝(1，2，0)，
BF＝(0，1，1)，
设平面BEF的法向量
点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．
考点点评： 本题考查异面直线的证明，考查点到直线的距离公式的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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