设f（x）=ln（x+1），（x＞-1）
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解题思路：（1）求导数
g
′
(x)＝−
x
2
+x−a
x+1
，在定义域内解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可；
（2）原命题等价于证明ln（1+[1/1]）+ln（1+[1/2]）+ln（1+[1/3]）+…+ln（1+[1/n]）＜[n+2/2]，取a=2，由（1）问知g（x）≤g（1），由此得一不等式，令
x＝
1
n
，得关于n的不等式，结合结论对不等式进行适当放缩求和即可．
（1）g′(x)＝−
x2+x−a
x+1，令x2+x-a=0，
∵△=1+4a＞0，∴g′（x）=0有两根，设为x1与x2且x1＜x2，
x1＝
−1−
1+4a
2，x2＝
−1+
1+4a
2，
当a≥0时x1≤-1，x2≥0，
∴当a≥0时g（x）在（-1，x2）上递增，在（x2，+∞）递减．
（2）原命题等价于证明ln（1+[1/1]）+ln（1+[1/2]）+ln（1+[1/3]）+…+ln（1+[1/n]）＜[n+2/2]，
由（1）知2ln(1+x)−
1
2x2≤2ln2−
1
2，∴ln(x+1)≤
1
4x2+(ln2−
1
4)，
令x＝
1
n，得ln（1+[1/n]）≤[1/4]•[1
n2+ln2-
1/4]，
所以ln（1+[1/1]）+ln（1+[1/2]）+ln（1+[1/3]）+…+ln（1+
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查应用导数研究函数单调性及证明不等式问题，考查学生分析问题解决问题的能力．
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