已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点 - 已解决

已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．

（Ⅰ）求抛物线E的方程；

（Ⅱ）求直线AB的方程．

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解题思路：（Ⅰ）令抛物线E的方程，根据抛物线E的焦点为（1，0），即可求得结论；

（Ⅱ）利用点差法，结合线段AB恰被M（2，1）所平分，求出AB的斜率，即可求得直线AB的方程．

（Ⅰ）令抛物线E的方程：y²=2px（p＞0）

∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2

∴抛物线E的方程：y²=4x

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，

两式相减，得（y₂-y₁）/（y₁+y₂）=4（x₂-x₁）

∵线段AB恰被M（2，1）所平分

∴y₁+y₂=2

∴

y2−y1

x2−x1=2

∴AB的方程为y-1=2（x-2），即2x-y-3=0．

点评：

本题考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．

考点点评：本题考查抛物线的标准方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

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