已知函数f（x）=plnx-（p-1）x2+1
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解题思路：（1）因为f（x）=plnx-（p-1）x2+1，所以当p=1时，f（x）≤kx恒成立，k≥[1+lnx/x]，令
h(x)＝
1+lnx
x
，则k≥h（x）max，由此能求出实数k的取值范围．
（2）由（1）知当k=1时，lnx＜x-1，令
x＝
n+1
n
，构造函数
ln
n+1
n
＜
1
n
，由此能够证明
ln(n+1)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈
N
*
)
．
（1）∵f（x）=plnx-（p-1）x2+1，
∴x＞0，∴当p=1时，f（x）≤kx恒成立，
则1+lnx≤kx，∴k≥[1+lnx/x]，
令h(x)＝
1+lnx
x，则k≥h（x）max，
∵h′(x)＝−
lnx
x2，∴由h′（x）=0，得x=1
且当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
所以h（x）max=h（1）=1，
故k≥1．
所以实数k的取值范围是[1，+∞）．
（2）由（1）知当k=1时，有f（x）≤x，当x＞1时，f（x）＜x
即lnx＜x-1，令x＝
n+1
n，构造函数ln
n+1
n＜
1
n，
即ln(n+1)−lnn＜
1
n，
所以ln
2
1＜
1
1，ln
3
2＜
1
2，…，ln
n+1
n＜
1
n，
相加得ln
2
1+ln
3
2+…+ln
n+1
n＜1+
1
2+…+
1
n，
而ln
2
1+ln
3
2+…+ln
n+1
n＝ln(
2
1•
3
2…
n+1
n)＝ln(n+1)，
所以ln(n+1)＜1+
1
2+
1
3+…+
1
n(n∈N*)．
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；不等式的证明．
考点点评： 本题考查函数恒成立时，实数的取值范围的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意等价转化思想和构造法的合理运用．
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