如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC 1 D
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(1)D 1E=D 2F.

∵C 1D 1∥ C 2D 2

∴∠C 1=∠AFD 2

又∵∠ACB=90°,CD是斜边上的中线,

∴DC=DA=DB,即C 1D 1=C 2D 2=BD 2=AD 1

∴∠C 1=∠A,

∴∠AFD 2=∠A

∴AD 2=D 2F.

同理:BD 1=D 1E.

又∵AD 1=BD 2

∴AD 2=BD 1

∴D 1E=D 2F.

(2)∵在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,

∴由勾股定理,得AB=10.

即AD 1=BD 2=C 1D 1=C 2D 2=5

又∵D 2D 1=x,

∴D 1E=BD 1=D 2F=AD 2=5-x.

∴C 2F=C 1E=x

在△BC 2D 2中,C 2到BD 2的距离就是△ABC的AB边上的高,为

24

5 .

设△BED 1的BD 1边上的高为h,

由探究,得△BC 2D 2∽ △BED 1

h

24

5 =

5-x

5 .

∴h=

24(5-x)

25 .S △BED1=

1

2 ×BD 1×h=

12

25 (5-x) 2

又∵∠C 1+∠C 2=90°,

∴∠FPC 2=90度.

又∵∠C 2=∠B,sinB=

4

5 ,cosB=

3

5 .

∴PC 2=

3

5 x,PF=

4

5 x,S △FC2P=

1

2 PC 2×PF=

6

25 x 2

而y=S △BC2D2-S △BED1-S △FC2P=

1

2 S △ABC-

12

25 (5-x) 2-

6

25 x 2

∴y=-

18

25 x 2+

24

5 x(0≤x≤5).

(3)存在.

当y=

1

4 S △ABC时,即-

18

25 x 2+

24

5 x=6,

整理得3x 2-20x+25=0.

解得,x 1=

5

3 ,x 2=5.

即当x=

5

3 或x=5时,重叠部分的面积等于原△ABC面积的

1

4 .