解题思路：（1）分别令n=2，n=3，及a1=a，结合已知可由a表示a2，a3，结合等差数列的性质可求a，
（2）由
S
2
n
=3n2an+
S
2
n−1
，得
S
2
n
-
S
2
n−1
=3n2an，两式相减整理可得所以Sn+Sn-1=3n2，进而有Sn+1+Sn=3（n+1）2，两式相减可得数列的偶数项和奇数项分别成等差数列，结合数列的单调性可求a
（1）在
S2n=3n2an+
S2n-1中分别令n=2，n=3，及a1=a
得（a+a2）2=12a2+a2，（a+a2+a3）2=27a3+（a+a2）2，
因为an≠0，所以a2=12-2a，a3=3+2a．…（2分）
因为数列{an}是等差数列，所以a1+a3=2a2，
即2（12-2a）=a+3+2a，解得a=3．…（4分）
经检验a=3时，an=3n，Sn=
3n(n+1)
2，Sn-1=
3n(n-1)
2
满足
S2n=3n2an+
S2n-1．
（2）由
S2n=3n2an+
S2n-1，得
S2n-
S2n-1=3n2an，
即（Sn+Sn-1）（Sn-Sn-1）=3n2an，
即（Sn+Sn-1）an=3n2an，因为an≠0，
所以Sn+Sn-1=3n2，（n≥2），①…（6分）
所以Sn+1+Sn=3（n+1）2，②
②-①，得an+1+an=6n+3，（n≥2）．③…（8分）
所以an+2+an+1=6n+9，④
④-③，得an+2-an=6，（n≥2）
即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，…（10分）
因为a2=12-2a，a3=3+2a．
∴an=
a，n=1
3n+2a-6，n为奇数且n≥3
3n-2a+6，n为偶数…（12分）
要使数列{an}是递增数列，须有a12，且当n为大于或等于3的奇数时，an
n+1，
且当n为偶数时，an
n+1，即a<12-2a，
3n+2a-6<3（n+1）-2a+6（n为大于或等于3的奇数），
3n-2a+6<3（n+1）+2a-6（n为偶数），
解得[9/4]
所以M=（[9/4]，[15/4]），当a∈M时，数列{an}是递增数列．…（16分）
点评：
本题考点： 等差关系的确定；数列的函数特性；数列的应用．
考点点评： 本题主要考查了等差数列的性质的应用，数列的单调性的应用，属于知识的综合应用．
