设f（x）=2x−12x+1．（Ⅰ）判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅱ）求证对任意非零实数x，都有f(x)x＞0．
3个回答
解题思路：（Ⅰ）由于 f（x）=1-
2
2
x
+1
，设x1＜x2，计算 f（x1）-f（x2）=
2
(2
x
1
−2
x
2
)
(2
x
1
+1)
(2
x
2
+1)
＜0，即 f（x1）＜f（x2），可得函数f（x）在R上是增函数．
（Ⅱ）由于当x＞0时，2x-1＞0，f（x）=
2
x
−1
2
x
+1
＞0；当x＜0时，2x-1＜0，f（x）=
2
x
−1
2
x
+1
＜0，命题得证．
（Ⅰ）由于 f（x）=
2x−1
2x+1=1-[2
2x+1，设x1＜x2，
∵f（x1）-f（x2）=（1-
2
2x1+1）-（1-
2
2x2+1）=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)＜0，即 f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数．
（Ⅱ）由于当x＞0时，2x-1＞0，f（x）=
2x−1
2x+1＞0；当x＜0时，2x-1＜0，f（x）=
2x−1
2x+1＜0，
∴对任意非零实数x，都有
f(x)/x]＞0．
点评：
本题考点： 函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的单调性的性质应用，属于中档题．
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