当n趋近于无穷大时,[n^(1/n^2)-1]/lnn是关于1/n的多少阶无穷小
1个回答
这个题目先处理n^(1/n^2)的导数与极限
令y=n^(1/n^2)
lny=lnn/n^2
y'/y=1/n^3-2lnn/n^2
y'=(1/n^3-2lnn/n^2)*n^(1/n^2)
lim(n→∞) lny
=lim(n→∞) lnn/n^2 (∞/∞)
=lim(n→∞) 1/(2n^2)
=0
所以
lim(n→∞) y
=lim(n→∞) e^(lnn/n^2) (∞/∞)
=lim(n→∞) e^[1/(2n^2)]
=e^0
=1
所以
lim(n→∞) {[n^(1/n^2)-1]/lnn}/(1/n) (0/0) (根据上面的极限才可以判断是0/0型极限)
=lim(n→∞) [n^(1/n^2)-1]/(lnn/n)
=lim(n→∞) [(1/n^3-2lnn/n^2)*n^(1/n^2)]/[(1/n^2-lnn)/n^2] (注意到lim(n→∞) y=1)
=lim(n→∞) [(1/n^3-2lnn/n^2)/[(1/n^2-lnn)/n^2]
=lim(n→∞) (1/n-2lnn)/(1/n^2-lnn)
=lim(n→∞) (n-2n^2lnn)/(1-n^2lnn) (∞/∞)
=lim(n→∞) (1-2nlnn-2n)/(-2nlnn-2n) (∞/∞)
=1
因此两者是等价无穷小.
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