如图1,⊙O的直径为AB,过半径OA的中点G作弦CE⊥AB,在CB上取一点D,分别作直线CD,ED,交直线AB于点F、M
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解题思路:(1)由于CG⊥OA,根据垂径定理可得出,弧CA=弧AE,那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA,在Rt△COG中,可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°,那么就能得出∠FDM=180°-∠CDE=120°

(2)在(1)中我们根据垂径定理得出OA是CE的垂直平分线,那么△CMG和△EMG全等,可得出∠CMA=∠EMG,也就可得出∠CMO=∠FMD,在(1)中已经证得∠AOC=∠EDC=60°,那么∠COM=∠MDF,因此两三角形就相似.

(3)可按(2)的方法得出∠DMF=∠CMO,关键是再找出一组对应角相等,还是用垂径定理来求,根据垂径定理我们可得出弧AC=弧AE,那么∠AOC=∠EDC,根据等角的余角相等即可得出∠COM=∠FDM,由此可证出两三角形相似.

(1) ∵AB为直径,CE⊥AB

AC=

AE,CG=EG

在Rt△COG中,

∵OC=OA,OG=[1/2]OA,

∵OG=[1/2]OC,

∴∠OCG=30°,

∴∠COA=60°,

又∵∠CDE的度数=[1/2]

CAE的度数=

AC的度数=∠COA的度数=60°

∴∠FDM=180°-∠CDE=120°.

(2)证明:∵∠COM=180°-∠COA=120°,

∴∠COM=∠FDM

在Rt△CGM和Rt△EGM中,

GM=GM

∠CGM=∠EGM

CG=EG

∴Rt△CGM≌Rt△EGM(SAS)

∴∠GMC=∠GME

又∵∠DMF=∠GME,

∴△FDM∽△COM.

(3) 结论仍成立.

∵∠EDC的度数=[1/2]

CAE的度数=

CA的度数=∠COA的度数,

∴∠FDM=180°-∠COA=∠COM

∵AB为直径,

∴CE⊥AB,

在Rt△CGM和Rt△EGM中,

GM=GM

∠CGM=∠EGM

CG=EG

∴Rt△CGM≌Rt△EGM(SAS)

∴∠GMC=∠GME

∴△FDM∽△COM.

点评:

本题考点: 圆周角定理;直角三角形全等的判定;垂径定理;相似三角形的判定.

考点点评: 本题主要考查了圆周角定理,垂径定理,全等三角形和相似三角形的判定及性质等知识点,根据垂径定理得出角相等是解题的关键.