（2014•嘉兴二模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=AB=AD=2BC=2，∠BAD

（2014•嘉兴二模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=AB=AD=2BC=2，∠BAD=θ，E是棱PD的中点．

（Ⅰ）若θ=60°，求证：AE⊥平面PCD；

（Ⅱ）求θ的值，使二面角P-CD-A的平面角最小．

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解题思路：（Ⅰ）由已知条件推导CD⊥AD，PA⊥CD．从而得到CD⊥AE．由此能证明AE⊥平面PCD．

（Ⅱ）建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出要使α最小，则cosα最大，由此能求出结果．

（Ⅰ）证明：当θ=60°时，

∵AD∥BC，AB=AD=2BC=2．

∴CD⊥AD．

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∴CD⊥平面PAD．

又AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE．

又PA=AD，E是棱PD的中点，

∴PD⊥AE．

∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD．（7分）

（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A-xyz，

则P（0，0，2），B（2sinθ，2cosθ，0），

C（2sinθ，2cosθ+1，0），D（0，2，0）．

∴

DP＝(0，−2，2)、

DC＝(2sinθ，2cosθ−1，0)．

设平面PCD的法向量为

n＝(x，y，z)，

则

n⊥

DP

n⊥

DC⇒

−2y+2z＝0

(2sinθ)x+(2cosθ−1)y＝0，

取y=1，得

n＝(

2cosθ−1

2sinθ，1，1)．

又平面ABCD的法向量为

m＝(0，0，1)．

设二面角P-CD-A的平面角为α，

则cosα＝

|

m•

n|

|

m|•|

n|＝

1

(

2cosθ−1

2sinθ)2+2，

要使α最小，则cosα最大，即[2cosθ−1/2sinθ＝0，

∴cosθ＝

1

2]，得θ＝

π

3．（8分）

点评：

本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查使二面角最小的角θ的值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

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