已知函数f（x）=ax2+x-xlnx，
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解题思路：（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；
（2）由已知，求得f（x）=x2+x-xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x恒成立转化为
b≤1−
1
x
−
lnx
x
恒成立．构造函数
g(x)＝1−
1
x
−
lnx
x
，只需b≤g（x）min即可，因此又需求g（x）min．
（1）当a=0时，f（x）=x-xlnx，函数定义域为（0，+∞）．
f'（x）=-lnx，由-lnx=0，得x=1．-------------（3分）
x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上是减函数；-------------（6分）
（2）由f（1）=2，得a+1=2，∴a=1，∴f（x）=x2+x-xlnx，
由f（x）≥bx2+2x，得（1-b）x-1≥lnx，
又∵x＞0，∴b≤1−
1
x−
lnx
x恒成立，-------------（9分）
令g(x)＝1−
1
x−
lnx
x，可得g′(x)＝
lnx
x2，∴g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．
∴g（x）min=g（1）=0
即b≤0，即b的取值范围是（-∞，0]．----------（12分）
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的应用，考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握函数恒成立时所取的条件，是一道综合题．
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