解题思路：（1）把a=3代入到f（x）中，求出导函数=0时x的值为1得到函数的最大值为f（1），然后判断f（[1/2]）和f（2）谁小谁为最小值即可；
（2）求出f′（x）=a-（2x+[1/x]），然后令g（x）=2x+[1/x]，利用g′（x）讨论得到x∈
(
1
2
，2)
时，g（x）的最大和最小值得到g（x）的值域，要使f（x）在
(
1
2
，2)
单调，即要a大于最大值或a小于最小值即可得到a的范围；
（3））若f（x）既有极大值又有极小值，首先必须f'（x）=0有两个不同正根，即2x2-ax+1=0有两个不同正根，即可得到根的判别式大于0且两根之和大于0，求出a的范围得到必要性；然后证明充分性：由a的范围得到f'（x）=0有两个不等的正根，讨论导函数的正负即可得到函数既有极大值又有极小值．所以得到函数既有极大值又有极小值的充分必要条件．
（1）a=3时，f′(x)＝−2x+3−
1
x＝−
2x2−3x+1
x＝−
(2x−1)(x−1)
x，
函数f（x）在区间(
1
2，2)仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在[
1
2，2]最大值是f（1）=2，
又f(2)−f(
1
2)＝(2−ln2)−(
5
4+ln2)＝
3
4−2ln2＜0，故f(2)＜f(
1
2)，
故函数在[
1
2，2]上的最小值为f（2）=2-ln2．
（2）f′(x)＝−2x+a−
1
x，令g(x)＝2x+
1
x，则g′(x)＝2−
1
x2，
则函数在(
1
2，
2
2)递减，在(
2
2，2)递增，由g(
1
2)＝3，g(2)＝
9
2，g(
2
2)＝2
2，
故函数g（x）在(
1
2，2)的值域为[2
2，
9
2)．
若f'（x）≤0在(
1
2，2)恒成立，即a≤2x+
1
x在(
1
2，2)恒成立，只要a≤2
2，
若要f'（x）≥0在(
1
2，2)恒成立，即a≥2x+
1
x在(
1
2，2)恒成立，
只要a≥
9
2．即a的取值范围是（-∞，2
2]∪[[9/2]，+∞）．
（3）若f（x）既有极大值又有极小值，则首先必须f'（x）=0有两个不同正根x1，x2，即2x2-ax+1=0有两个不同正根．
故a应满足
△＞0
a
2＞0⇒
a2−8＞0
a＞0⇒a＞2
2，
∴当a＞2
2时，f'（x）=0有两个不等的正根，不妨设x1＜x2，
由f'（x）=−
1
x(2x2−ax+1)=−
2
x（x-x1）（x-x2）知：
0＜x＜x1时f'（x）＜0；x1＜x＜x2时f'（x）＞0；x＞x2时f'（x）＜0，
∴当a＞2
2时f（x）既有极大值f（x2）又有极小值f（x1）．
反之，当a＞2
2时，2x2-ax+1=0有两个不相等的正根，
故函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件a＞2
2．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 考查学生会利用导数求闭区间上函数的最值，会利用导数研究函数的单调性，掌握充分必要条件的证明方法．会求函数在某点取极值的条件．此题是一道中档题．
