解题思路：（1）首先通过导数的几何意义求切线的斜率，然后利用点斜式求方程；
（2）求出函数的导数，讨论f'（x）=0的两根为
1，
1
a−1
两根的大小，以及与2的大小比较．
（Ⅰ）曲线y=f（x）过点P（1，1），则a=1，f(x)＝x−lnx， f′(x)＝1−
1
x＝
x−1
x．∵f'（1）=0，∴曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=1．---------------（4分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞）f′(x)＝(1−a)x+a−
1
x＝
(1−a)x2+ax−1
x＝
[(1−a)x+1](x−1)
x-------------（5分）
当a=1时，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-[1/x]=[x−1/x]，得x＞1，
∴x∈[1，2]时f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）max=f（2）=2-ln2；
当1-a＞0即a＜1时，f'（x）=0的两根为1，
1
a−1，且1＞
1
a−1，∴x∈[1，2]时f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）max=f（2）=2-ln2；
当1-a＜0即a＞1时，f'（x）=0的两根为1，
1
a−1，
①当 1≥
1
a−1即a≥2时，x∈[1，2]时f'（x）≤0，f（x）单调递减，f(x)max＝f(1)＝
a+1
2；
②当1＜
1
a−1即1＜a＜2时，x∈(1，
1
a−1)时f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈(
1
a−1，+∞)时f'（x）＜0，f（x）单调递减．
若[1/a−1≥2即1＜a≤
3
2]时，x∈[1，2]时f（x）单调递增，f（x）max=f（2）=2-ln2；
若[1/a−1＜2，即
3
2＜a＜2时，f(x)max＝f(
1
a−1)＝
2a−1
2(a−1)+ln(a−1)；
综上，f(x)max＝
2−ln2，a≤
3
2
2a−1
2(a−1)+ln(a−1)，
3
2＜a＜2
a+1
2，a≥2]．---------------------------（12分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查了导数的几何意义的运用以及通过求导判断函数的最值，考查了讨论的思想，属于难题．
