如图所示,直线PD为三角形ABC一边BC的垂直平分线,点D为垂足,连接CP并延长CP交边AB于点F,射线BP交边AC与点
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（1）证明：作BM⊥CF于点M,CN⊥BN于点N,
∵PD为BC的垂直平分线,
∴PB=PC,
∴∠PBC=∠PCB,∴BM=CN,
∵∠A=∠BPF,∴∠BFP=∠BEA,
∵∠BEA=∠CEN,∴∠CEN=∠BFP,
∵在RT△BFM和RT△CEN中,
∠BFP＝∠CEN
∠BMF＝∠CNE＝90°
BM＝CN
,
∴RT△BFM≌RT△CEN,（AAS）
∴BM=CF；
（2）∵∠BPF=60°,BP=CP,
∴∠PBD=∠PCD=30°,
∴∠MBP=∠PBD=30°,
∵在△BPM和△BPD中,
∠PBM＝∠PBD
BP＝BP
∠BPM＝∠BPM
,
∴△BPM≌△BPD,（ASA）
∴PM=PD．
∵在△BPM和△CPN中,
∠BMP＝∠CNP＝90°
∠BPM＝∠CPN
BP＝CP
,
∴△BPM≌△CPN,（AAS）
∴PM=PN,
∴PE+PF=PM+FM+PE=PM+PN=2PD,
即PE+PF=2PD；
（3）∵∠PBD=30°,∴PC=2PD,
∴PE+PF=8,
∴（PF-PE）2=（PF+PE）2-2PE•PF=46,
∴PF-PE=
46
．
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