如图，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿B⇒A，B⇒C运动，速度是1
1个回答
（1）当t=1时，MB=1，NB=1，AM=4-1=3，
∵PM ∥ BN
∴△ANB ∽ △APM，
∴
PM
NB =
AM
AB ，
∴ PM=
3
4 ．
（2）当t=2时，使△PNB ∽ △PAD，
∴
NB
AD =
PN
PA ，
∵
PN
PA =
BM
AM ，
∴
NB
AD =
BM
AM 这样就可以求出t，
相似比为2：3．
（3）∵PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP=∠ABC，△AMP ∽ △ABN，
∴
PM
BN =
AM
AB 即
PM
t =
a-t
a ，∵ PM=
t(a-t)
a ，
∵PQ=3-
t(a-t)
a ，
当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，
即
(QP+AD)DQ
2 =
(MP+BN)BM
2 =
(3-
t(a-t)
a +3)(a-t)
2 =
(
t
a (a-t)+t)t
2 ，
化简得 t=
6a
6+a ，
∵t≤3，
∴
6a
6+a ≤3 ，则a≤6，
∴3＜a≤6．
（4）∵3＜a≤6时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，
∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN=PM，
∴
t
a （a-t）=3-t，
两边同时乘以a，得at-t 2=3a-at，
整理，得t 2-2at+3a=0，
把 t=
6a
6+a 代入，整理得9a 3-108a=0，
∵a≠0，∴9a 2-108=0，
∴a=±2
3 ，
所以a=2
3 ．
所以，存在a，
当a=2
3 时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．
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